Historia del cálculo integral


Más numerosos que los precursores del cálculo diferencial son los del cálculo integral. Es especialmente en las obras de Arquímedes (287-212 a de J.C) en donde se encuentran notables ejemplos de verdaderas integraciones como la que hizo para calcular el área de la superficie de un segmento parabólico. La idea de descomponer una superficie plana en fajas rectangulares sumamente estrechas, fue conocida por muchos matemáticos de la Edad Media, lo mismo en Occidente que en Oriente.
Képler, para el descubrimiento de su famosa ley de las áreas efectúa, verdaderas integraciones, lo mismo que al concebir los sólidos como formados por un número sumamente grande de elementos infinitesimales.

Pero es, Buenaventura Cavalieri el matemático más famoso entre los precursores del cálculo integral. En su notable “Geometría de los indivisibles” calcula longitud de líneas, áreas y volúmenes, recurriendo a sumas. Gilles Personne de Roberval calcula el área de la superficie comprendida entre una curva y una recta, considerándola formada por un número sumamente grande de rectángulos sumamente estrechos. John Wallis, por su parte, logra cuadraturas y curvaturas siguiendo las huellas de Cavalieri. Puesto que el concepto de integral se deriva del de suma, en un principio se concibió la integral como la suma de una infinidad de rectángulos con una dimensión infinitesimal. Después que Barrow, en 1669, descubrió que el problema que consiste en calcular el área bajo una curva es el inverso del de calcular la pendiente de la tangente, y que Newton y Leibniz reconocieron, a su vez, que la integración y la diferenciación son operaciones inversas, se definió la integral de una función de cierta variable independiente por la diferencial de esta variable, como otra función cuya diferencial era la diferencial propuesta.



Los trabajos de Newton relativos al cálculo son anteriores a los de Leibniz, pero el primero nada publicó en un principio. basó su concepción en la noción de la velocidad de sustancias materiales, considerando lo que él llamó “crecimientos instantáneos”, mientras que Leibniz partió del concepto de diferencias sumamente pequeñas. Leibniz durante su primera estancia en París creó los procesos infinitesimales, en que resplandece la tendencia simbolizadora. Abordando el problema de las tangentes y su inverso, se propuso resolverlos ambos. Al observar que el triángulo es semejante al que forman la tangente, la subtangente y la ordenada del punto de tangencia, como lo es igualmente el formado por la normal, la subnormal y la ordenada de dicho punto, llegó al descubrimiento fundamental de la identidad del problema de las tangentes y la cuadratura de las curvas planas.

Es sin duda el barón Agustín Luis de Cauchy uno de los matemáticos más beneméritos del cálculo diferencial e integral, pues fue el primero en demostrar, de una manera rigurosa y plenamente satisfactoria, recurriendo al método de los límites, la consistencia de sus principios fundamentales. A Jacobo Bernoulli se debe la denominación de Cálculo integral, sugerida en 1960 y adoptada por Leibniz en 1696. La integración por sustitución fue aplicada desde los primeros tiempos del cálculo, tanto por Jacobo Bernoulli como por otros, y la expresión cambio de variable se encuentra en las obras de Cauchy.